| Авторы |
Ройтенберг Владимир Шлеймович, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ярославский государственный технический университет (Россия, г. Ярославль, Московский проспект, 88), E-mail: vroitenberg@mail.ru
|
| Аннотация |
Актуальность и цели. Бифуркации в типичных одно- и двухпараметрических семействах гладких динамических систем на плоскости практически полностью изучены. Для приложений представляют значительный интерес и кусочно-гладкие динамические системы на плоскости. Для них различных типов бифуркаций гораздо больше, чем для гладких динамических систем. Некоторые из них уже описаны. Однако продолжение исследования бифуркаций в типичных двухпараметрических семействах двумерных кусочно-гладких динамических систем представляется по-прежнему актуальным.
Материалы и методы. Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений.
Результаты. Рассматривается двумерное кусочно-гладкое векторное поле X. Пусть S – точка на линии разрыва поля, и в двух ее полуокрестностях V1 и V2 поле совпадает с гладкими векторными полями соответственно Х1 и Х2. Для векторного поля Х1 точка S является седлом с ненулевой седловой величиной и инвариантными многообразиями, трансверсальными линии разрыва. В точке S векторное поле Х2 трансверсально линии разрыва и направлено внутрь V1. Выходящая и входящая сепаратрисы седла S, начинающиеся в V1, не содержат особых точек и вместе с S образуют петлю. Для двухпараметрических деформаций общего положения рассматриваемых векторных полей в окрестности петли получены бифуркационные диаграммы.
Выводы. Описаны бифуркации петли сепаратрисы рассматриваемой особой точки на линии разрыва векторного поля.
|
|
Ключевые слова
|
динамическая система, кусочно-гладкое векторное поле, петля сепаратрисы седла, бифуркации, бифуркационная диаграмма, периодическая траектория
|
| Список литературы |
1. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. – Москва : Наука, 1985. – 224 с.
2. Bernardo, M. di. Piecewise smooth dynamical systems / M. di Bernardo, Ch. J. Budd, A. R. Capneys, P. Kowalczyk // Appl. Math. Sci. – London : Springer- Verlag, 2008. – Vol. 163. – 483 p.
3. Guardia, M. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems / M. Guardia, T. M. Seara, M. A Teixeira. // J. of Differential Equations. – 2011. – Vol. 250, № 4. – P. 1967–2023.
4. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях кусочно-гладких векторных полей, имеющих петлю сепаратрисы седла, находящегося на линии разрыва / В. Ш. Ройтенберг // Математика и математическое образование. Теория и практика : межвуз. сб. науч. тр. – Вып. 6. – Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2008.– С. 46–56.
5. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2017. – № 2. – С. 18–31.
6. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях предельного цикла, проходящего через точку пересечения линий разрыва векторного поля и касающегося одной из них / В. Ш. Ройтенберг // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер.: Математика. Физика. – 2018. – Т. 50, № 1. – С. 21–34.
7. Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем. Введение : пер. с англ. / Ж. Палис, В. Мелу. – Москва : Мир, 1986. – 301 с.
|
